频谱分析股票指标

⑴ 太赫兹概念股(太赫兹概念股票代码)

太赫兹概念股是指与太赫兹技术相关的上市公司股票。太赫兹技术是一种介于微波和红外线之间的电磁波，其频率范围在100GHz至10THz之间。这一技术在通信、安全检测、医疗、无线电频谱管理等领域具有广泛的应用前景。本文将从太赫兹概念股的背景介绍、市场前景以及相关公司的发展等方面进行详细阐述。

一、太赫兹技术简介

太赫兹技术作为一种全新的电磁波谱，具有穿透力强、分辨率高、无辐射、非接触性等特点，被广泛应用于无线通信、安全检测、医疗影像等领域。太赫兹技术的研究与应用领域正在不断扩展，为各行各业带来了许多创新的解决方案。

二、太赫兹概念股的背景

太赫兹概念股是指与太赫兹技术相关的上市公司股票，这些公司在太赫兹技术的研发、生产和应用方有一定的实力和优势。目前，太赫兹技术尚处于发展初期，但其在通信、安全检测、医疗等领域的应用潜力巨大。太赫兹概念股备受市场关注。

三、太赫兹技术的市场前景

1.通信领域：太赫兹技术在无线通信领域具有广阔的市场前景。由于太赫兹波的高带宽以及在大气中的传播特性，它可以用于解决现有通信技术中频谱资源短缺和数据传输速率低的问题，为5G通信等新一代通信技术提供强有力的支持。

2.安全检测领域：太赫兹技术在安全检测领域具有很大的应用潜力。太赫兹波可以穿透许多非金属材料，如衣物、纸张、塑料等，因此可以用于发现隐藏在这些材料中的危险物品。太赫兹技术在安全检测、反恐等方面的应用前景非常广阔。

3.医疗影像领域：太赫兹技术在医疗影像领域也有很大的市场前景。太赫兹波可以穿透皮肤表层，对人体组织进行显微观测，从而可以用于诊断腺癌、皮肤病变等疾病。太赫兹技术在医疗影像方面的应用前景非常广阔。

四、相关太赫兹概念股公司的发展

1.公司A：该公司是国内太赫兹技术领域的领军企业，拥有一流的研发团队和强大的技术实力。公司在通信领域的太赫兹技术研究取得了重大突破，已经申请并获得多项相关专利。公司的股票代码为XXX。

2.公司B：该公司专注于太赫兹技术在安全检测领域的应用研究和产品开发。公司与多家国内外安全机构合作，推出了一系列太赫兹安检设备，并取得了良好的市场反响。公司的股票代码为XXX。

3.公司C：该公司是国内医疗影像领域的太赫兹技术领军企业，拥有世界领先的太赫兹医疗影像设备研发团队。公司的太赫兹医疗影像设备已经通过了临床试验，并获得了多项医疗器械注册证书。公司的股票代码为XXX。

五、

太赫兹概念股是与太赫兹技术相关的上市公司股票，涵盖了通信、安全检测、医疗影像等领域。太赫兹技术具有广阔的市场前景，为解决现有技术中的瓶颈问题提供了新的解决方案。相关太赫兹概念股公司在技术研发和产品应用方面取得了较大的进展，具备了较强的市场竞争力。投资太赫兹概念股将有望分享太赫兹技术发展所带来的红利。

⑵ kg门是什么意思

KG门是Kagan-Gronwall门的缩写，这是用于频域分析的一种数学工具。在信号处理中，KG门可以用来测量信号的频谱密度。最早是由Kagan和Gronwall提出的，后来被广泛应用于各种领域，如天文学、地球物理学和声学等。近年来，KG门也被应用于量子信息领域，用于诊断和控制量子态。
与其他频域分析方法相比，KG门有许多独特的特点。例如，它不仅可以提供信号的频谱密度信息，还可以提供信号的相位信息。KG门还能够在不同的时间尺度上测量信号，因此用于研究不同时间尺度下的信号变化非常有用。除了在信号处理领域的应用，KG门还被广泛用于分析金融市场和股票交易中的时间序列数据。
KG门是一个非常有前景的数学工具，随着技术的进步和领域的拓展，它的应用领域还将继续扩大。一些研究者正在将KG门适用于更多的领域，例如气象学、生态学和生物医学等。此外，KG门也可以与其他量子信息工具结合使用，为研究和开发新的量子技术提供支持。未来，KG门将成为各种领域非常重要的分析工具。

⑶ 简单理解傅里叶级数(Fourier Series)

从我们出生，我们看到的世界都以时间贯穿，股票的走势、人的身高、汽车的轨迹都会随着时间发生改变。 这种以时间作为参照来观察动态世界的方法我们称其为时域分析 。而我们也想当然的认为，世间万物都在随着时间不停的改变，并且永远不会静止下来。但如果我告诉你，用另一种方法来观察世界的话，你会发现世界是永恒不变的，你会不会觉得我疯了？我没有疯，这个静止的世界就叫做频域。

还是举个栗子并且有图有真相才好理解。

如果我说我能用前面说的正弦曲线波叠加出一个带 90 度角的矩形波来，你会相信吗？你不会，就像当年的我一样。但是看看下图：

第一幅图是一个郁闷的正弦波 cos（x）

第二幅图是 2 个卖萌的正弦波的叠加 cos (x) +a.cos (3x)

第三幅图是 4 个发春的正弦波的叠加

第四幅图是 10 个便秘的正弦波的叠加

随着正弦波数量逐渐的增长，他们最终会叠加成一个标准的矩形，大家从中体会到了什么道理？（只要努力，弯的都能掰直！）

随着叠加的递增，所有正弦波中上升的部分逐渐让原本缓慢增加的曲线不断变陡，而所有正弦波中下降的部分又抵消了上升到最高处时继续上升的部分使其变为水平线。一个矩形就这么叠加而成了。但是要多少个正弦波叠加起来才能形成一个标准 90 度角的矩形波呢？不幸的告诉大家，答案是无穷多个。（上帝：我能让你们猜着我？）

不仅仅是矩形，你能想到的任何波形都是可以如此方法用正弦波叠加起来的。这是没有接触过傅里叶分析的人在直觉上的第一个难点，但是一旦接受了这样的设定，游戏就开始有意思起来了。

还是上图的正弦波累加成矩形波，我们换一个角度来看看：

在这几幅图中，最前面黑色的线就是所有正弦波叠加而成的总和，也就是越来越接近矩形波的那个图形。而后面依不同颜色排列而成的正弦波就是组合为矩形波的各个分量。这些正弦波按照频率从低到高从前向后排列开来，而每一个波的振幅都是不同的。一定有细心的读者发现了，每两个正弦波之间都还有一条直线，那并不是分割线，而是振幅为 0 的正弦波！也就是说，为了组成特殊的曲线，有些正弦波成分是不需要的。

这里，不同频率的正弦波我们成为频率分量。
好了，关键的地方来了！！
如果我们把第一个频率最低的频率分量看作“1”，我们就有了构建频域的最基本单元。对于我们最常见的有理数轴，数字“1”就是有理数轴的基本单元。

（好吧，数学称法为——基。在那个年代，这个字还没有其他奇怪的解释，后面还有正交基这样的词汇我会说吗?）
时域的基本单元就是“1”秒，如果我们将一个角频率为ω0的正弦波cos（ω0t）看做基础，那么频域的基本单元就是ω0。
有了“1”，还要有“0”才能构成世界，那么频域的“0”是什么呢？cos（0t）就是一个周期无限长的正弦波，也就是一条直线！所以在频域，0 频率也被称为直流分量，在傅里叶级数的叠加中，它仅仅影响全部波形相对于数轴整体向上或是向下而不改变波的形状。

接下来，让我们回到初中，回忆一下已经死去的八戒，啊不，已经死去的老师是怎么定义正弦波的吧。

正弦波就是一个圆周运动在一条直线上的投影。所以频域的基本单元也可以理解为一个始终在旋转的圆。

介绍完了频域的基本组成单元，我们就可以看一看一个矩形波，在频域里的另一个模样了：

这就是矩形波在频域的样子，是不是完全认不出来了？教科书一般就给到这里然后留给了读者无穷的遐想，以及无穷的吐槽，其实教科书只要补一张图就足够了：频域图像，也就是俗称的频谱，就是—

再清楚一点：

老实说，在我学傅里叶变换时，维基的这个图还没有出现，那时我就想到了这种表达方法，而且，后面还会加入维基没有表示出来的另一个谱——相位谱。

但是在讲相位谱之前，我们先回顾一下刚刚的这个例子究竟意味着什么。记得前面说过的那句“世界是静止的”吗？估计好多人对这句话都已经吐槽半天了。想象一下，世界上每一个看似混乱的表象，实际都是一条时间轴上不规则的曲线，但实际这些曲线都是由这些无穷无尽的正弦波组成。我们看似不规律的事情反而是规律的正弦波在时域上的投影，而正弦波又是一个旋转的圆在直线上的投影。那么你的脑海中会产生一个什么画面呢？

我们眼中的世界就像皮影戏的大幕布，幕布的后面有无数的齿轮，大齿轮带动小齿轮，小齿轮再带动更小的。在最外面的小齿轮上有一个小人——那就是我们自己。我们只看到这个小人毫无规律的在幕布前表演，却无法预测他下一步会去哪。而幕布后面的齿轮却永远一直那样不停的旋转，永不停歇。这样说来有些宿命论的感觉。说实话，这种对人生的描绘是我一个朋友在我们都是高中生的时候感叹的，当时想想似懂非懂，直到有一天我学到了傅里叶级数……

上一章的关键词是：从侧面看。这一章的关键词是：从下面看。

在这一章最开始，我想先回答很多人的一个问题：傅里叶分析究竟是干什么用的？这段相对比较枯燥，已经知道了的同学可以直接跳到下一个分割线。

先说一个最直接的用途。无论听广播还是看电视，我们一定对一个词不陌生——频道。频道频道，就是频率的通道，不同的频道就是将不同的频率作为一个通道来进行信息传输。下面大家尝试一件事：

先在纸上画一个sin（x），不一定标准，意思差不多就行。不是很难吧。好，接下去画一个sin（3x）+sin（5x）的图形。别说标准不标准了，曲线什么时候上升什么时候下降你都不一定画的对吧？

好，画不出来不要紧，我把sin（3x）+sin（5x）的曲线给你，但是前提是你不知道这个曲线的方程式，现在需要你把sin（5x）给我从图里拿出去，看看剩下的是什么。这基本是不可能做到的。但是在频域呢？则简单的很，无非就是几条竖线而已。

所以很多在时域看似不可能做到的数学操作，在频域相反很容易。这就是需要傅里叶变换的地方。尤其是从某条曲线中去除一些特定的频率成分，这在工程上称为 滤波 ，是信号处理最重要的概念之一，只有在频域才能轻松的做到。

再说一个更重要，但是稍微复杂一点的用途——求解微分方程。（这段有点难度，看不懂的可以直接跳过这段）微分方程的重要性不用我过多介绍了。各行各业都用的到。但是求解微分方程却是一件相当麻烦的事情。因为除了要计算加减乘除，还要计算微分积分。而傅里叶变换则可以让微分和积分在频域中变为乘法和除法，大学数学瞬间变小学算术有没有。

傅里叶分析当然还有其他更重要的用途，我们随着讲随着提。

下面我们继续说相位谱：

通过时域到频域的变换，我们得到了一个从侧面看的频谱，但是这个频谱并没有包含时域中全部的信息。因为频谱只代表每一个对应的正弦波的振幅是多少，而没有提到相位。基础的正弦波A.sin(wt+θ)中，振幅，频率，相位缺一不可，不同相位决定了波的位置，所以对于频域分析，仅仅有频谱（振幅谱）是不够的，我们还需要一个相位谱。那么这个相位谱在哪呢？我们看下图，这次为了避免图片太混论，我们用7个波叠加的图。

鉴于正弦波是周期的，我们需要设定一个用来标记正弦波位置的东西。在图中就是那些小红点。小红点是距离频率轴最近的波峰，而这个波峰所处的位置离频率轴有多远呢？为了看的更清楚，我们将红色的点投影到下平面，投影点我们用粉色点来表示。当然，这些粉色的点只标注了波峰距离频率轴的距离，并不是相位。

在完整的立体图中，我们将投影得到的时间差依次除以所在频率的周期，就得到了最下面的相位谱。所以，频谱是从侧面看，相位谱是从下面看。下次偷看女生裙底被发现的话，可以告诉她：“对不起，我只是想看看你的相位谱。”

注意到，相位谱中的相位除了0，就是Pi。因为cos（t+Pi）=-cos（t），所以实际上相位为Pi的波只是上下翻转了而已。对于周期方波的傅里叶级数，这样的相位谱已经是很简单的了。另外值得注意的是，由于cos（t+2Pi）=cos（t），所以相位差是周期的，pi和3pi，5pi，7pi都是相同的相位。人为定义相位谱的值域为(-pi，pi]，所以图中的相位差均为Pi。
最后来一张大集合：

傅里叶变换实际上是对一个周期无限大的函数进行傅里叶变换。

所以说，钢琴谱其实并非一个连续的频谱，而是很多在时间上离散的频率，但是这样的一个贴切的比喻真的是很难找出第二个来了。

因此在傅里叶变换在频域上就从离散谱变成了连续谱。那么连续谱是什么样子呢？
你见过大海么？

为了方便大家对比，我们这次从另一个角度来看频谱，还是傅里叶级数中用到最多的那幅图，我们从频率较高的方向看。

以上是离散谱，那么连续谱是什么样子呢？

尽情的发挥你的想象，想象这些离散的正弦波离得越来越近，逐渐变得连续……

直到变得像波涛起伏的大海：

很抱歉，为了能让这些波浪更清晰的看到，我没有选用正确的计算参数，而是选择了一些让图片更美观的参数，不然这图看起来就像屎一样了。

不过通过这样两幅图去比较，大家应该可以理解如何从离散谱变成了连续谱的了吧？原来离散谱的叠加，变成了连续谱的累积。所以在计算上也从求和符号变成了积分符号。

不过，这个故事还没有讲完，接下去，我保证让你看到一幅比上图更美丽壮观的图片，但是这里需要介绍到一个数学工具才能然故事继续，这个工具就是——

虚数i这个概念大家在高中就接触过，但那时我们只知道它是-1 的平方根，可是它真正的意义是什么呢?

这里有一条数轴，在数轴上有一个红色的线段，它的长度是1。当它乘以 3 的时候，它的长度发生了变化，变成了蓝色的线段，而当它乘以-1 的时候，就变成了绿色的线段，或者说线段在数轴上围绕原点旋转了 180 度。

我们知道乘-1 其实就是乘了两次 i 使线段旋转了 180 度，那么乘一次 i 呢——答案很简单——旋转了 90 度。

同时，我们获得了一个垂直的虚数轴。实数轴与虚数轴共同构成了一个复数的平面，也称复平面。这样我们就了解到，乘虚数i的一个功能——旋转。
现在，就有请宇宙第一耍帅公式欧拉公式隆重登场——

这个公式在数学领域的意义要远大于傅里叶分析，但是乘它为宇宙第一耍帅公式是因为它的特殊形式——当x等于 Pi 的时候。

经常有理工科的学生为了跟妹子表现自己的学术功底，用这个公式来给妹子解释数学之美：”石榴姐你看，这个公式里既有自然底数e，自然数 1 和0，虚数i还有圆周率 pi，它是这么简洁，这么美丽啊！“但是姑娘们心里往往只有一句话：”臭屌丝……“

这个公式关键的作用，是将正弦波统一成了简单的指数形式。我们来看看图像上的涵义：

欧拉公式所描绘的，是一个随着时间变化，在复平面上做圆周运动的点，随着时间的改变，在时间轴上就成了一条螺旋线。如果只看它的实数部分，也就是螺旋线在左侧的投影，就是一个最基础的余弦函数。而右侧的投影则是一个正弦函数。

关于复数更深的理解，大家可以参考：

复数的物理意义是什么？

这里不需要讲的太复杂，足够让大家理解后面的内容就可以了。

有了欧拉公式的帮助，我们便知道：正弦波的叠加，也可以理解为螺旋线的叠加在实数空间的投影。而螺旋线的叠加如果用一个形象的栗子来理解是什么呢？

光波
高中时我们就学过，自然光是由不同颜色的光叠加而成的，而最著名的实验就是牛顿师傅的三棱镜实验：

所以其实我们在很早就接触到了光的频谱，只是并没有了解频谱更重要的意义。
但不同的是，傅里叶变换出来的频谱不仅仅是可见光这样频率范围有限的叠加，而是频率从 0 到无穷所有频率的组合。

这里，我们可以用两种方法来理解正弦波：

第一种前面已经讲过了，就是螺旋线在实轴的投影。

另一种需要借助欧拉公式的另一种形式去理解：

将以上两式相加再除2，得到：

这个式子可以怎么理解呢？

我们刚才讲过，e^(it)可以理解为一条逆时针旋转的螺旋线，那么 e^(-it)则可以理解为一条顺时针旋转的螺旋线。而 cos (t)则是这两条旋转方向不同的螺旋线叠加的一半，因为这两条螺旋线的虚数部分相互抵消掉了！
举个例子的话，就是极化方向不同的两束光波，磁场抵消，电场加倍。
这里，逆时针旋转的我们称为正频率，而顺时针旋转的我们称为负频率（注意不是复频率）。

好了，刚才我们已经看到了大海——连续的傅里叶变换频谱，现在想一想，连续的螺旋线会是什么样子：

想象一下再往下翻：

是不是很漂亮？

你猜猜，这个图形在时域是什么样子？

哈哈，是不是觉得被狠狠扇了一个耳光。数学就是这么一个把简单的问题搞得很复杂的东西。

顺便说一句，那个像大海螺一样的图，为了方便观看，我仅仅展示了其中正频率的部分，负频率的部分没有显示出来。

如果你认真去看，海螺图上的每一条螺旋线都是可以清楚的看到的，每一条螺旋线都有着不同的振幅（旋转半径），频率（旋转周期）以及相位。而将所有螺旋线连成平面，就是这幅海螺图了。

好了，讲到这里，相信大家对傅里叶变换以及傅里叶级数都有了一个形象的理解了，我们最后用一张图来总结一下：

好了，傅里叶的故事终于讲完了，下面来讲讲我的故事：

这篇文章第一次被卸下来的地方你们绝对猜不到在哪，是在一张高数考试的卷子上。当时为了刷分，我重修了高数（上），但是后来时间紧压根没复习，所以我就抱着裸考的心态去了考场。但是到了考场我突然意识到，无论如何我都不会比上次考的更好了，所以干脆写一些自己对于数学的想法吧。于是用了一个小时左右的时间在试卷上洋洋洒洒写了本文的第一草稿。

你们猜我的了多少分？

6 分

没错，就是这个数字。而这 6 分的成绩是因为最后我实在无聊，把选择题全部填上了C，应该是中了两道，得到了这宝贵的 6 分。说真的，我很希望那张卷子还在，但是应该不太可能了。

那么你们猜猜我第一次信号与系统考了多少分呢？

45 分

没错，刚刚够参加补考的。但是我心一横没去考，决定重修。因为那个学期在忙其他事情，学习真的就抛在脑后了。但是我知道这是一门很重要的课，无论如何我要吃透它。说真的，信号与系统这门课几乎是大部分工科课程的基础，尤其是通信专业。

在重修的过程中，我仔细分析了每一个公式，试图给这个公式以一个直观的理解。虽然我知道对于研究数学的人来说，这样的学习方法完全没有前途可言，因为随着概念愈加抽象，维度越来越高，这种图像或者模型理解法将完全丧失作用。但是对于一个工科生来说，足够了。

后来来了德国，这边学校要求我重修信号与系统时，我彻底无语了。但是没办法，德国人有时对中国人就是有种藐视，觉得你的教育不靠谱。所以没办法，再来一遍吧。

这次，我考了满分，而及格率只有一半。

老实说，数学工具对于工科生和对于理科生来说，意义是完全不同的。工科生只要理解了，会用，会查，就足够了。但是很多高校却将这些重要的数学课程教给数学系的老师去教。这样就出现一个问题，数学老师讲得天花乱坠，又是推理又是证明，但是学生心里就只有一句话：学这货到底干嘛用的？

缺少了目标的教育是彻底的失败。

在开始学习一门数学工具的时候，学生完全不知道这个工具的作用，现实涵义。而教材上有只有晦涩难懂，定语就二十几个字的概念以及看了就眼晕的公式。能学出兴趣来就怪了！

好在我很幸运，遇到了大连海事大学的吴楠老师。他的课全程来看是两条线索，一条从上而下，一条从下而上。先将本门课程的意义，然后指出这门课程中会遇到哪样的问题，让学生知道自己学习的某种知识在现实中扮演的角色。然后再从基础讲起，梳理知识树，直到延伸到另一条线索中提出的问题，完美的衔接在一起！

这样的教学模式，我想才是大学里应该出现的。

最后，写给所有给我点赞并留言的同学。真的谢谢大家的支持，也很抱歉不能一一回复。因为知乎专栏的留言要逐次加载，为了看到最后一条要点很多次加载。当然我都坚持看完了，只是没办法一一回复。

本文只是介绍了一种对傅里叶分析新颖的理解方法，对于求学，还是要踏踏实实弄清楚公式和概念，学习，真的没有捷径。但至少通过本文，我希望可以让这条漫长的路变得有意思一些。

最后，祝大家都能在学习中找到乐趣…

⑷ 傅里叶变换（没明白怎么用是不是等于白看）

傅里叶分析 不仅是 数学工具 ，更颠覆世界观的 思维模式 。

时域分析： 出生，以时间贯穿，股票的走势、人的身高、 随着时间变 。

频域 ：静止的世界， 世界是永恒不变的

音乐在 时域的样子 ：时间变化的震动

频域：乐器小能手直观的理解：

傅里叶同学： 任何周期函数 ，可以作是不同振幅，不同相位正弦波的叠加，组合出任何一首乐曲。

傅里叶分析 ：贯穿 时域与频域 的方法之一，分为傅里叶 级数 （Fourier Serie）和傅里叶 变换 (Fourier Transformation)

（1） 正弦波 cos （x）

（2）正弦波的 叠加 cos (x) +a.cos (3x)

（3） 发春 的正弦波的 叠加

（4） 10 个正弦波的 叠加

上升 的部分： 变陡 ，中间下降的部分： 变平 。 无穷多个 叠加变 90 度 矩形， 换一个角度看：

不同颜色正弦波： 矩形波 的各个 分量，频率分量 。频率从低到高从前向后。一定有细心的读者发现了，

每两个之间有 直线 ：0振幅正弦波， 为了组成特殊的曲线，有些正弦波成分是不需要的 ？

关键：

最低的频率分量看作“1”（基本单元）

有理数轴 ，数字“1”就是基本单元。数学称法为—— 基

时域基本单元 ： “1秒” ，如果将 一个角频率 为 W0 的正弦波 cos（W0t） 看作基础，那么 频域的基本单元就是W0.

有了“1”，还要有“0”才能构成世界: 频域的“0” ：cos（0t） 周期无限长的正弦波（一条直线）

在频域中， 0频率 也被称为 直流分量 ，傅里叶级数 叠加中 ：波形相对于数轴 整体向上或是向下 而 不改变 波的形状。

正弦波就是一个圆周运动在一条直线上的投影。所以频域的基本单元也可以理解为一个始终在旋转的圆

想看动图的同学请戳这里：

File:Fourier series square wave circles animation.gif

频域里：矩形波

频谱中，偶数项的振幅都是0，对应彩色直线

老实说，在我学傅里叶变换时，维基的这个图还没有出现，那时我就想到了这种表达方法，而且，后面还会加入维基没有表示出来的另一个谱——相位谱。

世界就像皮影戏的大幕布，幕后无数的齿轮，大齿轮带动小齿轮，小齿轮再带动更小的。在最外面的小齿轮上有一个小人——那就是我们自己。我们只看到这个小人毫无规律的在幕布前表演，却 无法预测他下一步 会去哪。而幕布后面的 齿轮 却永远 一直那样 不停的旋转，永不停歇。

上一章：从侧面看。这一章：从下面看。

(1)频道 （广播、电视）：频率的通道，将 不同的频率 作为通道来 信息传输 。

把sin（5x）给我从图里拿出去，不可能做到。

频域 ： 简单的很 ，几条竖线而已。 so需要傅里叶变换

ps:从 曲线中 去除一些特定的 频率 成分，称为 滤波(信号处理) ，频域才能做到。

(2)解微分方程 。

通过时域到频域的变换 ，我们得到了一个从侧面看的频谱，但是这个频谱并没有包含时域中全部的信息。因为频谱只代表每一个对应的正弦波的振幅是多少，而没有提到相位。基础的正弦波A.sin(wt+θ)中， 振幅，频率，相位 缺一不可， 不同相位决定了波的位置

正弦波是周期的， 小红点 ： 正弦波位置 、 距离频率轴 最近的 波峰 ， 粉点：波峰 距离 频率轴 的距离， 不是相位

相位差：时间差在一个周期中所占的比例 （如果将 全部周期 看作 2Pi或360度 的话）， 相位差 = (时间差/周期)*2Pi

相位谱 中的相位 除了0，就是Pi 。因为 cos（t+Pi）=-cos（t） ，所以实际上相位为Pi的波只是上下翻转了而已。对于周期方波的傅里叶级数，这样的相位谱已经是很简单的了。另外值得注意的是，由于cos（t+2Pi）=cos（t），所以相位差是周期的，pi和 3pi，5pi，7pi 都是 相同的相位 。人为定义相位谱的值域为(-pi，pi]，所以图中的相位差均为Pi。

公式错误：

傅里叶级数的本质： 周期的信号 分解成 无限多分开的（离散的）正弦波 ， 宇宙似不是周期

数字信号处理的时候写过一首打油诗：

往昔连续非周期，

回忆周期不连续，

任你ZT、DFT，

还原不回去。

往昔 是一个 连续 的 非周期 信号， 回忆 是一个周期 离散信号 。

比如傅里叶级数， 时域 ： 周期且连续 的函数， 频域：非周期离散 的函数。第一章的图片。

时域非周期的连续信号， 转换 为一个在频域非周期的连续信号。

傅里叶变换 ： 周期无限大的 函数进行傅里叶变换。

连续谱：离散谱的叠加，变成了连续谱的累积。计算上也从 求和符号 变成了 积分符号 。

虚数i：-1 的平方根 ，真正的意义：

红色的线段，长度是1。乘以 3 = 蓝色的线段，乘以-1 = 绿色的线段（原点旋转了 180 度）。

乘了两次 i 使线段旋转了 180 度， 乘一次 i = 旋转了 90 度

乘虚数i = 旋转， 欧拉公式：

这个公式在数学领域的意义要远大于傅里叶分析，但是乘它为宇宙第一耍帅公式是因为它的特殊形式——当x等于 Pi 的时候。

经常有理工科的学生为了跟妹子表现自己的学术功底，用这个公式来给妹子解释数学之美：”石榴姐你看，这个公式里既有自然底数e，自然数 1 和0，虚数i还有圆周率 pi，它是这么简洁，这么美丽啊！“但是姑娘们心里往往只有一句话：”臭屌丝……“

这个公式关键的作用，是将正弦波统一成了简单的指数形式。我们来看看图像上的涵义：

欧拉公式所描绘的，是一个随着时间变化，在复平面上做圆周运动的点，随着时间的改变，在时间轴上就成了一条螺旋线。如果只看它的实数部分，也就是螺旋线在左侧的投影，就是一个最基础的余弦函数。而右侧的投影则是一个正弦函数。

有了欧拉公式的帮助，我们便知道：正弦波的叠加，也可以理解为螺旋线的叠加在实数空间的投影。而螺旋线的叠加如果用一个形象的栗子来理解是什么呢？

光波

高中时我们就学过，自然光是由不同颜色的光叠加而成的，而最著名的实验就是牛顿师傅的三棱镜实验：

所以其实我们在很早就接触到了光的频谱，只是并没有了解频谱更重要的意义。

但不同的是，傅里叶变换出来的频谱不仅仅是可见光这样频率范围有限的叠加，而是频率从 0 到无穷所有频率的组合。

这里，我们可以用两种方法来理解正弦波：

第一种前面已经讲过了，就是螺旋线在实轴的投影。

另一种需要借助欧拉公式的另一种形式去理解：

将以上两式相加再除2，得到：

这个式子可以怎么理解呢？

我们刚才讲过，e^(it)可以理解为一条逆时针旋转的螺旋线，那么e^(-it)则可以理解为一条顺时针旋转的螺旋线。而 cos (t)则是这两条旋转方向不同的螺旋线叠加的一半，因为这两条螺旋线的虚数部分相互抵消掉了！

举个例子的话，就是极化方向不同的两束光波，磁场抵消，电场加倍。

这里，逆时针旋转的我们称为正频率，而顺时针旋转的我们称为负频率（注意不是复频率）。

好了，刚才我们已经看到了大海——连续的傅里叶变换频谱，现在想一想，连续的螺旋线会是什么样子：

仅展示了正频率的部分

每一条螺旋线都有着不同的振幅（旋转半径），频率（旋转周期）以及相位。将所有螺旋线连成平面